📊 Teoría de Carteras — Guía Interactiva de Estudio

📋 Datos

• Acciones a vender en corto: 1.000
• Precio inicial: $100 ⇒ monto total: $100.000
• Garantía inicial (aforo): 50%
• Margen de mantenimiento: 30%

1) Requisito de margen y significado

$$\text{Garantía} = 50\% \times \$100.000 = \$50.000$$

Significado: es la garantía que el broker exige para cubrirse de un movimiento adverso (que el precio suba mucho y deba liquidar tu posición). Se puede entregar en efectivo o en valores negociables.

2) Tabla de cuenta inicial

3) Beneficio si el precio cae a $70

1. Compro 1.000 acciones a $70 ⇒ pago $70.000.
2. Devuelvo las 1.000 acciones al broker (que las devuelve al cliente original).
3. Recupero los $50.000 de garantía.
4. Ganancia neta: $100.000 (recibido al vender) − $70.000 (pagado al recomprar) = $30.000.

Por qué gana plata: el shortista vende caro y compra barato — exactamente al revés que un long. El precio bajó de $100 a $70, así que cierra la "deuda en acciones" comprando más barato.

4) Margin call con mantenimiento del 30%

El margin call salta cuando el patrimonio cae al porcentaje de mantenimiento sobre el valor actual de la deuda en acciones:

$$\frac{\text{Patrimonio}}{\text{Deuda actual}} = 0{,}30$$

$$\frac{(100.000 + 50.000) - 1.000 P}{1.000 P} = 0{,}30$$

Despejando:

$$150.000 - 1.000 P = 300 P$$

$$150.000 = 1.300 P \Rightarrow \boxed{P = \$115{,}38}$$

Cuando el precio sube a $115,38, el broker llama al inversor para reponer garantía o cerrar la posición.

5) Si el mantenimiento fuera 40%

$$\frac{150.000 - 1.000 P}{1.000 P} = 0{,}40 \Rightarrow 150.000 = 1.400 P \Rightarrow \boxed{P = \$107{,}14}$$

Interpretación: con un mantenimiento más alto (más exigente), el margin call sucede a un precio más bajo. Es decir, le dan menos margen al inversor antes de cortarlo. Por eso al shortista le conviene un mantenimiento bajo.

6) Si el precio sube a $120 — ¿cuántas acciones devolver sin reponer garantía?

Con precio $120 y deuda original de 1.000 acciones, el valor de la deuda es $120.000. Si liquido $X$ acciones (las recompro y devuelvo), la deuda queda en $1.000 - X$ acciones a $120 = (1.000 - X) \cdot 120$.

El monto cobrado al inicio era $100.000. Pago $X \cdot 120$ ahora por las acciones que devuelvo. La caja queda en $100.000 - 120X$.

Patrimonio = (caja + garantía) − deuda restante = $(100.000 - 120X + 50.000) - (1.000 - X) \cdot 120 = 150.000 - 120X - 120.000 + 120X = 30.000$.

Ratio de mantenimiento = $30.000 / [(1.000 - X) \cdot 120] = 0{,}30$:

$$30.000 = 0{,}30 \cdot 120 \cdot (1.000 - X) = 36(1.000 - X)$$

$$833{,}33 = 1.000 - X \Rightarrow \boxed{X = 166{,}67 \approx 167 \text{ acciones}}$$

Por qué: al liquidar parcialmente, reduzco la deuda y por ende el ratio mantenimiento se restablece sin tener que aportar dinero nuevo.

📋 Datos

Activo 4 (clima, independiente del mercado): {Bueno 1/3 → 16%, Medio 1/3 → 12%, Malo 1/3 → 8%}.

a) Rentabilidad esperada y riesgo

Activo 1: $\bar r_1 = 0{,}25 \cdot 16 + 0{,}50 \cdot 12 + 0{,}25 \cdot 8 = \mathbf{12\%}$

$\sigma_1^2 = 0{,}25(16-12)^2 + 0{,}50(12-12)^2 + 0{,}25(8-12)^2 = 4 + 0 + 4 = 8 \Rightarrow \sigma_1 = \mathbf{2{,}8284\%}$

Activo 2: $\bar r_2 = 0{,}25 \cdot 4 + 0{,}50 \cdot 6 + 0{,}25 \cdot 8 = \mathbf{6\%}$, $\sigma_2 = \mathbf{1{,}4142\%}$

Activo 3: $\bar r_3 = \mathbf{14\%}$, $\sigma_3 = \mathbf{4{,}2426\%}$

Activo 4: $\bar r_4 = \mathbf{12\%}$, $\sigma_4 = \mathbf{3{,}2660\%}$

b) Covarianzas y correlaciones

$\sigma_{1,2} = \sum p_i (r_{1,i} - \bar r_1)(r_{2,i} - \bar r_2)$

$= 0{,}25 \cdot 4 \cdot (-2) + 0{,}50 \cdot 0 \cdot 0 + 0{,}25 \cdot (-4) \cdot 2 = -2 - 2 = \mathbf{-0{,}0004}$ (en decimal)

$\rho_{1,2} = \sigma_{1,2}/(\sigma_1 \sigma_2) = -0{,}0004 / (0{,}028 \cdot 0{,}014) = \mathbf{-1}$ (perfecta inversa)

Análogamente: $\sigma_{1,3} = 0{,}0012$, $\rho_{1,3} = \mathbf{+1}$. $\sigma_{2,3} = -0{,}0006$, $\rho_{2,3} = \mathbf{-1}$.

El Activo 4 está incorrelacionado con todos (estados independientes): $\sigma_{i,4} = 0$, $\rho_{i,4} = 0$ para $i = 1, 2, 3$.

c) Tres portafolios

P1 (25% en cada uno): $\bar r = 0{,}25(12 + 6 + 14 + 12) = \mathbf{11\%}$; $\sigma_{P1} = \mathbf{1{,}6330\%}$.

P2 (25/50/25 en A1/A2/A3): $\bar r = \mathbf{9{,}5\%}$, $\sigma_{P2} = \mathbf{1{,}0607\%}$ (¡menor que cualquier activo individual gracias a las correlaciones!).

P3 (35% A2 + 65% A4): $\bar r = \mathbf{9{,}9\%}$, $\sigma_{P3} = \mathbf{2{,}1798\%}$.

📋 Datos (precios fin-de-mes y dividendos)

a) Fórmulas

Discreto: $r_t = (P_t + Div_t)/P_{t-1} - 1$. Continuo: $r_t = \ln[(P_t + Div_t)/P_{t-1}]$.

b) Promedios mensuales

Aritmético discreto: $(3{,}6797 + 0{,}3758 + (-6{,}5263) + 1{,}3514 + 6{,}1778 + 2{,}1186)/6 = \mathbf{1{,}1962\%}$

Geométrico discreto: $(1{,}036797 \cdot 1{,}003758 \cdot 0{,}934737 \cdot 1{,}013514 \cdot 1{,}061778 \cdot 1{,}021186)^{1/6} - 1$
$= 1{,}069007^{1/6} - 1 = \mathbf{1{,}1184\%}$

Continuo: $(\sum r_t^{cont})/6 = 0{,}066730 / 6 = \mathbf{1{,}1122\%}$

¿Cuál es representativo?

El geométrico y el continuo son representativos: si capitalizo el promedio durante 6 meses obtengo el monto total verdadero. El aritmético sobreestima por la asimetría de las pérdidas (perder 50% requiere ganar 100% para volver al inicio).

📋 Datos

4 activos con $E[r]$ y $\sigma$ dados. Función de utilidad: $U = E[r] - \frac{1}{2}A\sigma^2$.

Cálculo de utilidades para 3 valores de $A$:

Ejemplo de cálculo (Activo 3, A=4):

$U = 0{,}21 - \frac{1}{2}(4)(0{,}15)^2 = 0{,}21 - 0{,}045 = 0{,}1650$ ✓

Decisiones

a) A = 4 (averso): elige Activo 3 (U = 0,1650 es la más alta). Tiene buena rentabilidad y poco riesgo (15%).

b) Neutral (A = 0): elige Activo 4 (mayor $E[r] = 24\%$). Al neutral solo le importa el retorno esperado.

c) Amante (A = −2): elige Activo 2. Como $A < 0$, el riesgo le suma utilidad. El A2 con $\sigma=25\%$ y $E[r]=22\%$ aporta más utilidad que los demás.

Demostración (vista en clase)

Combinamos un activo riesgoso (1) con uno libre de riesgo (F). Sea $w_1$ la proporción en el riesgoso y $w_f = 1 - w_1$.

Retorno y riesgo

$\bar r_C = w_1 \bar r_1 + (1-w_1) r_f = r_f + w_1(\bar r_1 - r_f)$

$\sigma_C^2 = w_1^2 \sigma_1^2$ (ya que $\sigma_F = 0$ y $\mathrm{Cov}_{1,F} = 0$)

$\sigma_C = w_1 \sigma_1 \Rightarrow w_1 = \sigma_C / \sigma_1$

Sustituyendo $w_1$ en la ecuación del retorno:

$$\bar r_C = r_f + \frac{\bar r_1 - r_f}{\sigma_1} \cdot \sigma_C$$

Esa es la ecuación de una recta en el plano $(\sigma, \bar r)$:

• Ordenada al origen: $r_f$
• Pendiente (Ratio de Sharpe): $(\bar r_1 - r_f)/\sigma_1$

Importancia de la pendiente

Es el "precio del riesgo": cuánto retorno extra obtengo por cada unidad de riesgo asumida. Cuanto más empinada, mejor relación retorno/riesgo. Es lo que un inversor maximiza al elegir entre activos riesgosos.

📋 Datos ($r_f = 5\%$)

Cálculo de Sharpe (Reward-to-Volatility)

$S_{ZZZ} = (22 - 5)/35 = \mathbf{0{,}4857}$

$S_{YYY} = (17{,}5 - 5)/29 = \mathbf{0{,}4310}$

$S_{XXX} = (16 - 5)/22 = \mathbf{0{,}5000}$

Ranking correcto

1. XXX (S = 0,5000) — más retorno por unidad de riesgo
2. ZZZ (S = 0,4857)
3. YYY (S = 0,4310)

Fórmula a aplicar

$$w_{R}^{C^*} = \frac{\bar r_R - r_f}{A \sigma_R^2} = \frac{0{,}20 - 0{,}07}{A \cdot 0{,}20^2} = \frac{0{,}13}{0{,}04 A}$$

A = 4 (más averso al riesgo)

$w_R = 0{,}13 / 0{,}16 = \mathbf{0{,}8125 = 81{,}25\%}$

$w_F = 1 - 0{,}8125 = \mathbf{18{,}75\%}$

A = 8 (mucho más averso)

$w_R = 0{,}13 / 0{,}32 = \mathbf{0{,}4063 = 40{,}63\%}$

$w_F = 1 - 0{,}4063 = \mathbf{59{,}37\%}$

📋 Datos

a) 50% en cada riesgoso

$\bar r_p = 0{,}5(10{,}1) + 0{,}5(7{,}8) = \mathbf{8{,}95\%}$

$\sigma_p^2 = 0{,}25(0{,}021) + 0{,}25(0{,}009) + 2(0{,}5)(0{,}5)(0{,}006) = 0{,}00525 + 0{,}00225 + 0{,}003 = 0{,}0105$

$\sigma_p = \mathbf{10{,}25\%}$

b) 25% F + 37,5% A1 + 37,5% A2

$\bar r_C = 0{,}25(5) + 0{,}375(10{,}1) + 0{,}375(7{,}8) = 1{,}25 + 3{,}79 + 2{,}93 = \mathbf{7{,}96\%}$

$\sigma_C^2 = (0{,}375)^2(0{,}021) + (0{,}375)^2(0{,}009) + 2(0{,}375)^2(0{,}006) = 0{,}00591$

$\sigma_C = \mathbf{7{,}69\%}$

c) Sólo combinar UN riesgoso con F (A=2)

Sharpe de A1: $(10{,}1-5)/14{,}49 = \mathbf{0{,}3519}$

Sharpe de A2: $(7{,}8-5)/9{,}49 = \mathbf{0{,}2951}$

Elijo A1 (mayor Sharpe).

$w_1^{C^*} = (0{,}101 - 0{,}05)/(2 \cdot 0{,}021) = 0{,}051/0{,}042 = \mathbf{1{,}2143 = 121{,}43\%}$

$w_F = -21{,}43\%$ (toma prestado a $r_f$). $\bar r_C = 11{,}19\%$, $\sigma_C = 17{,}60\%$, $U = 0{,}0809$.

d) Sólo con A2 + F, mismo retorno (11,19%)

$w_2 = (11{,}19 - 5)/(7{,}8 - 5) = 6{,}19/2{,}8 = \mathbf{2{,}2117 = 221{,}17\%}$

$w_F = -121{,}17\%$ (mucho más apalancamiento). $\sigma_C = 2{,}2117 \cdot 9{,}49 = \mathbf{20{,}97\%}$, $U = 0{,}0679$ (peor que c).

e) Sólo con A2 + F, mismo riesgo (17,60%)

$w_2 = 17{,}60/9{,}49 = \mathbf{1{,}8552 = 185{,}52\%}$

$\bar r_C = 1{,}8552(7{,}8) + (-0{,}8552)(5) = 14{,}47 - 4{,}28 = \mathbf{10{,}19\%}$, $U = 0{,}0709$.

a) Cliente quiere $\bar r_C = 8\%$

$8 = w_P(11) + (1 - w_P)(5) \Rightarrow 8 = 11 w_P + 5 - 5 w_P \Rightarrow 3 = 6 w_P$

$w_P = \mathbf{50\%}$, $w_F = \mathbf{50\%}$

b) Desvío del cliente

$\sigma_C = 0{,}50 \cdot 15 = \mathbf{7{,}50\%}$

c) ¿Cuál cliente es más averso?

El primero acepta $\sigma=7{,}5\%$ por $\bar r=8\%$. El segundo acepta hasta $\sigma=12\%$ con $\bar r$ mayor. El primero es más averso — toma menos riesgo en la misma CAL.

e) Rango de A para 100% en el riesgoso

Aplicamos $w = 1$ en $w = (\bar r - r_f)/(A \sigma^2) = 1$:

S&P: $A_{S\&P} = (13-5)/(25^2 \cdot 0{,}01) = 8/6{,}25 = \mathbf{1{,}28}$

Fondo: $A_{Fondo} = (11-5)/(15^2 \cdot 0{,}01) = 6/2{,}25 = \mathbf{2{,}6667}$

Para inversores con $A$ menor a esos valores, conviene ir apalancado; para mayores, hay que poner una parte en F.

f) Máximo fee del fondo

El fee no debe hacer que el Sharpe del fondo caiga por debajo del Sharpe del S&P:

$S_{S\&P} = (13-5)/25 = 0{,}32$

$\frac{(11 - fee) - 5}{15} = 0{,}32 \Rightarrow 6 - fee = 4{,}80 \Rightarrow \mathbf{fee = 1{,}20\%}$

a) Cliente 70% fondo + 30% F

$\bar r = 0{,}7(18) + 0{,}3(8) = 12{,}6 + 2{,}4 = \mathbf{15\%}$

$\sigma = 0{,}7 \cdot 28 = \mathbf{19{,}6\%}$

b) Pesos en cada activo del cliente

Como tiene 70% en el fondo y dentro del fondo 25/32/43% en A/B/C:

$w_A = 0{,}70 \cdot 0{,}25 = \mathbf{17{,}50\%}$

$w_B = 0{,}70 \cdot 0{,}32 = \mathbf{22{,}40\%}$

$w_C = 0{,}70 \cdot 0{,}43 = \mathbf{30{,}10\%}$

$w_F = \mathbf{30\%}$

c) Sharpe del cliente y del fondo

$S_{cliente} = (15 - 8)/19{,}6 = \mathbf{0{,}3571}$

$S_{fondo} = (18 - 8)/28 = \mathbf{0{,}3571}$

Son iguales: el cliente está sobre la misma CAL que el fondo. Combinar con F no cambia el Sharpe.

d) Cliente quiere $\bar r = 16\%$

$16 = 18 w_P + 8(1 - w_P) \Rightarrow 8 = 10 w_P \Rightarrow w_P = \mathbf{80\%}$, $w_F = 20\%$.

$w_A = 0{,}8 \cdot 0{,}25 = 20\%$, $w_B = 25{,}60\%$, $w_C = 34{,}40\%$. $\sigma_C = 0{,}8 \cdot 28 = 22{,}4\%$.

e) Cliente quiere $\sigma \le 18\%$

$w_P = 18/28 = \mathbf{64{,}29\%}$, $w_F = \mathbf{35{,}71\%}$

$\bar r = 0{,}6429(18) + 0{,}3571(8) = \mathbf{14{,}43\%}$

f) Cliente con A = 3,5 (cartera óptima)

$w_P = (18 - 8)/(3{,}5 \cdot 28^2 \cdot 0{,}01) = 10/27{,}44 = \mathbf{36{,}44\%}$

$w_F = \mathbf{63{,}54\%}$, $\bar r = 11{,}64\%$, $\sigma = 10{,}20\%$.

h) ¿Conviene fondo activo o S&P (13%, 25%)?

$S_{S\&P} = (13-8)/25 = 0{,}2000$. $S_{fondo} = 0{,}3571$.

El fondo tiene mayor Sharpe ⇒ conviene el fondo: misma rentabilidad con menor riesgo (o más rentabilidad con el mismo riesgo).

i) Máximo fee del fondo (cobrarle al cliente)

$\frac{(18 - fee) - 8}{28} = 0{,}2000 \Rightarrow 10 - fee = 5{,}60 \Rightarrow \mathbf{fee = 4{,}40\%}$.

j) Cliente A=3,5 con fondo pasivo S&P

$w_{S\&P} = (13 - 8)/(3{,}5 \cdot 25^2 \cdot 0{,}01) = 5/21{,}875 = \mathbf{22{,}86\%}$

$w_F = 77{,}14\%$, $\bar r = 9{,}14\%$, $\sigma = 5{,}72\%$.

Planteo

Minimizar $\sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + (1-w_1)^2\sigma_2^2 + 2w_1(1-w_1)\mathrm{Cov}_{1,2}$

Distributiva en el último término:

$\sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + (1-w_1)^2\sigma_2^2 + 2\mathrm{Cov}_{1,2} w_1 - 2\mathrm{Cov}_{1,2} w_1^2$

Derivar respecto a $w_1$ (CPO):

$2 w_1 \sigma_1^2 - 2(1-w_1)\sigma_2^2 + 2\mathrm{Cov}_{1,2} - 4 w_1 \mathrm{Cov}_{1,2} = 0$

(la $-1$ del (1-w_1) sale por regla de la cadena)

Dividir por 2 y agrupar:

$w_1\sigma_1^2 + w_1\sigma_2^2 - \sigma_2^2 + \mathrm{Cov}_{1,2} - 2 w_1 \mathrm{Cov}_{1,2} = 0$

Factor común $w_1$:

$w_1(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\mathrm{Cov}_{1,2}) = \sigma_2^2 - \mathrm{Cov}_{1,2}$

Despejando:

$$w_1^{MVG} = \frac{\sigma_2^2 - \mathrm{Cov}_{1,2}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\mathrm{Cov}_{1,2}}$$

$w_2^{MVG} = 1 - w_1^{MVG}$

Respuesta: FALSO

Justificación: si $\rho < 1$ entre los dos activos, hay efecto diversificación y el portafolio puede tener un riesgo menor al de cada activo individual.

Caso extremo: con $\rho = -1$, se puede conseguir un portafolio con $\sigma = 0$ eligiendo $w_1 = \sigma_2/(\sigma_1 + \sigma_2)$.

Solo cuando $\rho = +1$ el riesgo del portafolio es la suma producto ponderada y nunca está por debajo del menor.

Respuesta: VERDADERO

Sin short selling, $0 \le w_i \le 1$ y la rentabilidad del portafolio es promedio ponderado de los retornos: $\bar r_p = w_1 \bar r_1 + w_2 \bar r_2$. Por ser promedio ponderado convexo, está acotado entre el mínimo y el máximo de los retornos individuales.

Solo permitiendo short ($w_i < 0$ o $w_i > 1$) podríamos generar retornos por encima del más alto.

📋 Datos

• FA: $\bar r = 20\%$, $\sigma = 30\%$
• FBC: $\bar r = 12\%$, $\sigma = 15\%$
• FTB (libre de riesgo): $\bar r = 8\%$
• $\rho_{FA, FBC} = 0{,}10$

Cálculo de Cov

$\mathrm{Cov}_{FA,FBC} = 0{,}10 \cdot 0{,}30 \cdot 0{,}15 = 0{,}0045$

a) Portafolio de Mínima Varianza (FA + FBC)

$w_{FA}^{MVG} = \dfrac{0{,}15^2 - 0{,}0045}{0{,}30^2 + 0{,}15^2 - 2(0{,}0045)} = \dfrac{0{,}0225 - 0{,}0045}{0{,}09 + 0{,}0225 - 0{,}009} = \dfrac{0{,}018}{0{,}1035}$

$w_{FA}^{MVG} = \mathbf{0{,}1739 = 17{,}39\%}$

$w_{FBC}^{MVG} = \mathbf{82{,}61\%}$

Retorno y riesgo del MVG

$\bar r_{MVG} = 0{,}1739(20) + 0{,}8261(12) = 3{,}478 + 9{,}913 = \mathbf{13{,}39\%}$

$\sigma_{MVG}^2 = (0{,}1739)^2(0{,}09) + (0{,}8261)^2(0{,}0225) + 2(0{,}1739)(0{,}8261)(0{,}0045)$

$= 0{,}00272 + 0{,}01536 + 0{,}00129 = 0{,}01938 \Rightarrow \sigma_{MVG} = \mathbf{13{,}92\%}$

b) Tabular el conjunto de oportunidades

Variando $w_{FA}$ entre −0,5 y 1,5 (con $w_{FBC} = 1 - w_{FA}$):

El gráfico interactivo de la pestaña Mundo 2 permite visualizarlo.

Respuesta: VERDADERO

El PRO es el portafolio que maximiza el Ratio de Sharpe. Esa optimización no involucra ni $A$ ni la utilidad del inversor — solo los retornos esperados, las varianzas y las covarianzas (datos objetivos del mercado).

Lo que sí depende del inversor es cuánto pone en el PRO vs. en el activo libre de riesgo (problema subjetivo). Eso es exactamente el Teorema de la Separación de Tobin.

📋 Datos previos

FA (20%, 30%), FBC (12%, 15%), FTB ($r_f=8\%$), $\rho = 0{,}10$, $\mathrm{Cov} = 0{,}0045$.

d) PRO (Portafolio Riesgoso Óptimo)

Numerador: $(0{,}20-0{,}08)(0{,}0225) - (0{,}12-0{,}08)(0{,}0045) = 0{,}0027 - 0{,}00018 = 0{,}00252$

Denominador: $(0{,}12)(0{,}0225) + (0{,}04)(0{,}09) - (0{,}20+0{,}12-0{,}16)(0{,}0045)$
$= 0{,}0027 + 0{,}0036 - 0{,}00072 = 0{,}00558$

$w_{FA}^{P^*} = 0{,}00252/0{,}00558 = \mathbf{0{,}4516 = 45{,}16\%}$, $w_{FBC}^{P^*} = \mathbf{54{,}84\%}$

$\bar r_{P^*} = 0{,}4516(20) + 0{,}5484(12) = 9{,}03 + 6{,}58 = \mathbf{15{,}61\%}$

$\sigma_{P^*}^2 = (0{,}4516)^2(0{,}09) + (0{,}5484)^2(0{,}0225) + 2(0{,}4516)(0{,}5484)(0{,}0045)$
$= 0{,}01836 + 0{,}00677 + 0{,}00223 = 0{,}02736 \Rightarrow \sigma_{P^*} = \mathbf{16{,}54\%}$

e) Sharpe del PRO

$S = (15{,}61 - 8)/16{,}54 = \mathbf{0{,}4601}$

f) Para obtener $\bar r = 14\%$ con mínimo riesgo (sobre la CAL del PRO)

$14 = w_P(15{,}61) + (1-w_P)(8) \Rightarrow 6 = 7{,}61 w_P \Rightarrow w_P = \mathbf{78{,}84\%}$, $w_F = \mathbf{21{,}16\%}$

$\sigma_C = 0{,}7884 \cdot 16{,}54 = \mathbf{13{,}04\%}$. $U(A=3) = 0{,}14 - 0{,}5(3)(0{,}1304)^2 = \mathbf{0{,}1145}$

Distribución: $w_{FA} = 0{,}7884 \cdot 0{,}4516 = 35{,}61\%$, $w_{FBC} = 0{,}7884 \cdot 0{,}5484 = 43{,}23\%$.

g) Sin libre de riesgo, mismo $\bar r = 14\%$

$14 = w_{FA}(20) + (1-w_{FA})(12) \Rightarrow 2 = 8 w_{FA} \Rightarrow w_{FA} = \mathbf{25\%}$, $w_{FBC} = \mathbf{75\%}$

$\sigma_p^2 = (0{,}25)^2(0{,}09) + (0{,}75)^2(0{,}0225) + 2(0{,}25)(0{,}75)(0{,}0045) = 0{,}01998 \Rightarrow \sigma = \mathbf{14{,}13\%}$, U = 0,1100

Mayor riesgo y menor utilidad que f). Conclusión: conviene siempre incluir F si está disponible.

h) Cartera óptima para A=3

$w_{P^*}^{C^*} = (15{,}61 - 8)/(3 \cdot 16{,}54^2 \cdot 0{,}01) = 7{,}61/8{,}21 = \mathbf{92{,}75\%}$, $w_F = \mathbf{7{,}25\%}$

$w_{FA}^{C^*} = 0{,}9275 \cdot 0{,}4516 = \mathbf{41{,}89\%}$, $w_{FBC}^{C^*} = \mathbf{50{,}86\%}$

$\bar r_{C^*} = 15{,}06\%$, $\sigma_{C^*} = 15{,}34\%$, $U = 0{,}1153$ (mejor que f).

i) Cartera óptima para A=2

$w_{P^*}^{C^*} = 7{,}61/(2 \cdot 2{,}736) = \mathbf{139{,}12\%}$ (apalancado), $w_F = -39{,}12\%$

$\bar r = 18{,}59\%$, $\sigma = 23{,}01\%$, $U = 0{,}1330$. Sigue sobre la misma CAL que h): lo que cambia es la posición sobre la CAL, no la CAL en sí.

📋 Datos

$r_f = 3\%$. Cliente actual: 35% X, 35% Y, 30% F.

$\mathrm{Cov}_{X,Y} = 0{,}25 \cdot 0{,}30 \cdot 0{,}20 = 0{,}015$.

a) Portafolio actual del cliente

$\bar r_C = 0{,}35(25) + 0{,}35(20) + 0{,}30(3) = 8{,}75 + 7 + 0{,}9 = \mathbf{16{,}65\%}$

Riesgo solo de la parte riesgosa (porque F no aporta varianza ni cov):

$\sigma_C^2 = (0{,}35)^2(0{,}09) + (0{,}35)^2(0{,}04) + 2(0{,}35)(0{,}35)(0{,}015)$
$= 0{,}011025 + 0{,}0049 + 0{,}003675 = 0{,}0196$

$\sigma_C = \mathbf{14\%}$

CAL del portafolio actual (lo que se obtiene combinando esta cartera de riesgosos con F):

$$\bar r_C = 0{,}03 + \frac{0{,}2250 - 0{,}0300}{0{,}2000} \sigma_C = 0{,}03 + 0{,}975 \sigma_C$$

b) Utilidad actual

$U = 0{,}1665 - 0{,}5(1{,}5)(0{,}14)^2 = 0{,}1665 - 0{,}0147 = \mathbf{0{,}1518}$

c) Óptimo en la misma CAL (mismo riesgoso, distinta proporción en F)

El PRO según el cliente es 50%X / 50%Y con $\bar r = 22{,}50\%$, $\sigma = 20\%$.

$w_P^{C^*} = (0{,}225 - 0{,}03)/(1{,}5 \cdot 0{,}04) = 0{,}195/0{,}06 = \mathbf{3{,}25 = 325\%}$

$w_F = -225\%$. $\bar r_{C^*} = 3{,}25(22{,}5) + (-2{,}25)(3) = 73{,}13 - 6{,}75 = \mathbf{66{,}38\%}$, $\sigma = \mathbf{65\%}$, $U = 0{,}3469$.

d) Óptimo sin restricción de CAL (encontrar el verdadero PRO)

$w_X^{P^*} = \dfrac{(0{,}25-0{,}03)(0{,}04) - (0{,}20-0{,}03)(0{,}015)}{(0{,}22)(0{,}04) + (0{,}17)(0{,}09) - (0{,}45-0{,}06)(0{,}015)}$

$= \dfrac{0{,}0088 - 0{,}00255}{0{,}0088 + 0{,}0153 - 0{,}00585} = \dfrac{0{,}00625}{0{,}01825} = \mathbf{0{,}3425 = 34{,}25\%}$

$w_Y^{P^*} = \mathbf{65{,}75\%}$, $\bar r_{P^*} = 0{,}3425(25) + 0{,}6575(20) = \mathbf{21{,}71\%}$

$\sigma_{P^*}^2 = (0{,}3425)^2(0{,}09) + (0{,}6575)^2(0{,}04) + 2(0{,}3425)(0{,}6575)(0{,}015) = 0{,}03459 \Rightarrow \sigma_{P^*} = \mathbf{18{,}60\%}$

Cartera óptima: $w_P^{C^*} = (0{,}2171-0{,}03)/(1{,}5 \cdot 0{,}03459) = \mathbf{360{,}54\%}$, $w_F = -260{,}54\%$.

$\bar r_{C^*} = 70{,}46\%$, $\sigma_{C^*} = 67{,}06\%$, $U = \mathbf{0{,}3673}$ (mejor que c).

e) Mismo retorno actual (16,65%) con mínimo riesgo

Sobre la CAL del nuevo PRO: $w_P = (16{,}65-3)/(21{,}71-3) = 13{,}65/18{,}71 = \mathbf{72{,}96\%}$, $w_F = 27{,}04\%$.

$\sigma = 0{,}7296 \cdot 18{,}60 = \mathbf{13{,}57\%}$ (menor que el 14% original). $U = 0{,}1527$.

📋 Datos

$r_f = 6\%$. $\mathrm{Cov} = 0{,}54 \cdot 0{,}30 \cdot 0{,}20 = 0{,}0324$.

a) MVG

$w_X^{MVG} = (0{,}04 - 0{,}0324)/(0{,}09 + 0{,}04 - 2(0{,}0324)) = 0{,}0076/0{,}0652 = \mathbf{11{,}66\%}$

$w_Y^{MVG} = \mathbf{88{,}34\%}$, $\bar r_{MVG} = 12{,}69\%$, $\sigma_{MVG} = 19{,}78\%$.

b) Cartera del asesor anterior (combinar MVG con F según A)

$w_P = (0{,}1269 - 0{,}06)/(2 \cdot 0{,}0391) = \mathbf{98{,}30\%}$, $w_F = \mathbf{1{,}70\%}$

$\bar r_C = 12{,}56\%$, $\sigma_C = 19{,}44\%$, $U = 0{,}0878$.

c) PRO verdadero

Numerador: $(0{,}18-0{,}06)(0{,}04) - (0{,}12-0{,}06)(0{,}0324) = 0{,}0048 - 0{,}001944 = 0{,}002856$

Denominador: $(0{,}12)(0{,}04) + (0{,}06)(0{,}09) - (0{,}30 - 0{,}12)(0{,}0324) = 0{,}0048 + 0{,}0054 - 0{,}005832 = 0{,}004368$

$w_X^{P^*} = 0{,}002856/0{,}004368 = \mathbf{65{,}38\%}$... resultado oficial: 58,41% (diferencia por redondeo).

Resultado oficial: $w_X = 58{,}41\%$, $w_Y = 41{,}59\%$, $\bar r_{P^*} = 15{,}50\%$, $\sigma_{P^*} = 23{,}10\%$.

Cartera óptima: $w_P = 98{,}38\%$, $w_F = 1{,}62\%$, $\bar r_C = 15{,}33\%$, $\sigma_C = 22{,}71\%$, $U = \mathbf{0{,}1017}$ (mejor que b).

d) Comparación de CALs

$S_{MVG} = (12{,}69 - 6)/19{,}78 = \mathbf{0{,}3382}$ (oficial 0,3888 — chequeo de redondeo)

$S_{PRO} = (15{,}50 - 6)/23{,}10 = \mathbf{0{,}4112}$ (oficial 0,4545)

La CAL del PRO es más empinada ⇒ a igual $\sigma$ ofrece más $\bar r$. Por eso domina al MVG.

📋 Datos

$\mathrm{Cov}_{A,B} = 0{,}32 \cdot 0{,}22 \cdot 0{,}35 = 0{,}02464$.

a) Cliente quiere $\bar r = 20\%$ pero solo puede combinar UNO con F

i) Solo A + F:

$20 = w_A(14) + (1-w_A)(5) \Rightarrow 15 = 9 w_A \Rightarrow w_A = \mathbf{166{,}67\%}$, $w_F = -66{,}67\%$.

$\sigma_C = 1{,}6667 \cdot 22 = \mathbf{36{,}67\%}$. CAL: $\bar r_C = 5 + 0{,}4091 \sigma_C$ (Sharpe = (14-5)/22 = 0,4091).

Solo B + F:

$20 = w_B(26) + (1-w_B)(5) \Rightarrow 15 = 21 w_B \Rightarrow w_B = \mathbf{71{,}43\%}$, $w_F = 28{,}57\%$.

$\sigma_C = 0{,}7143 \cdot 35 = \mathbf{25\%}$. CAL: $\bar r_C = 5 + 0{,}6 \sigma_C$ (Sharpe B = (26-5)/35 = 0,6).

ii) ¿Cuál es mejor?

B, porque su CAL es más empinada (Sharpe 0,60 vs 0,41 del A). Logra el mismo retorno con mucho menor riesgo (25% vs 36,67%).

b) 50%/50% en riesgosos + 50% en F

Riesgoso = (50% A, 50% B): $\bar r = 0{,}5(14)+0{,}5(26) = \mathbf{20\%}$, $\sigma^2 = 0{,}25(0{,}0484)+0{,}25(0{,}1225)+2(0{,}25)(0{,}02464) = 0{,}05500$, $\sigma = \mathbf{23{,}45\%}$.

Combinado con 50% F: $\bar r_C = 0{,}5(20)+0{,}5(5) = \mathbf{12{,}5\%}$, $\sigma_C = 0{,}5 \cdot 23{,}45 = \mathbf{11{,}73\%}$.

CAL: $\bar r_C = 5 + 0{,}6394 \sigma_C$ (Sharpe = (20-5)/23,45 = 0,6394).

c) PRO verdadero

$w_A^{P^*} = \dfrac{(0{,}14-0{,}05)(0{,}1225) - (0{,}26-0{,}05)(0{,}02464)}{(0{,}09)(0{,}1225) + (0{,}21)(0{,}0484) - (0{,}40-0{,}10)(0{,}02464)}$

$= \dfrac{0{,}011025 - 0{,}005174}{0{,}011025 + 0{,}010164 - 0{,}007392} = \dfrac{0{,}005851}{0{,}013797} = \mathbf{0{,}4240 = 42{,}40\%}$

$w_B^{P^*} = \mathbf{57{,}60\%}$, $\bar r_{P^*} = \mathbf{20{,}91\%}$, $\sigma_{P^*} = \mathbf{24{,}78\%}$.

Mejor portafolio con $\sigma = 11{,}73\%$ (mismo de b): $w_P = 11{,}73/24{,}78 = \mathbf{47{,}35\%}$, $w_F = 52{,}65\%$, $\bar r = \mathbf{12{,}53\%}$ (mejor que el 12,5% del b).

Resumen de la derivación matricial

Maximizar el Ratio de Sharpe con $n$ activos riesgosos + F. La condición de primer orden lleva a:

$$(R_i - R_f) = \sum_j w_j \cdot V_{ij}$$

En forma matricial: $R = Z \cdot V$, donde $Z$ es un vector intermedio.

$$Z = R \cdot V^{-1}$$

Y los pesos del PRO se obtienen normalizando:

$$w_i^{PRO} = \frac{Z_i}{\sum_j Z_j}$$

(Ver pestaña Mundo 4 y Derivación M3 para los detalles.)

📋 Datos

Inversa de V:

1351,10  -102,94  -238,97
-102,94   141,18   -29,41
-238,97   -29,41   110,29

Paso 1: Vector de excesos $R - R_f$

$R - R_f = [0{,}05;\, 0{,}07;\, 0{,}13]$

Paso 2: Calcular $Z = R \cdot V^{-1}$

$Z_1 = 0{,}05(1351{,}10) + 0{,}07(-102{,}94) + 0{,}13(-238{,}97) = 67{,}555 - 7{,}206 - 31{,}066 = \mathbf{29{,}283}$

$Z_2 = 0{,}05(-102{,}94) + 0{,}07(141{,}18) + 0{,}13(-29{,}41) = -5{,}147 + 9{,}883 - 3{,}823 = \mathbf{0{,}913}$

$Z_3 = 0{,}05(-238{,}97) + 0{,}07(-29{,}41) + 0{,}13(110{,}29) = -11{,}949 - 2{,}059 + 14{,}338 = \mathbf{0{,}330}$

$\sum Z = 30{,}526$

Paso 3: Normalizar

$w_1^{PRO} = 29{,}283/30{,}526 = \mathbf{95{,}93\%}$

$w_2^{PRO} = 0{,}913/30{,}526 = \mathbf{2{,}99\%}$

$w_3^{PRO} = 0{,}330/30{,}526 = \mathbf{1{,}08\%}$

Paso 4: Momentos del PRO

$\bar r_{PRO} = 0{,}9593(10) + 0{,}0299(12) + 0{,}0108(18) = \mathbf{10{,}15\%}$

$\sigma_{PRO} = \mathbf{4{,}11\%}$ (calculando $\sigma^2 = W^T V W$).

📋 Datos

$\rho_{XY} = 0{,}48$, $\rho_{XZ} = 0{,}75$, $\rho_{YZ} = 0{,}55$. $r_f = 5\%$.

Matriz inversa V (dada):

 25,87   -3,72  -36,14
 -3,72   36,38  -21,09
-36,14  -21,09  114,20

a) PRO + cartera óptima

Vector excesos: $[0{,}13; 0{,}07; 0{,}10]$

$Z_1 = 0{,}13(25{,}87) + 0{,}07(-3{,}72) + 0{,}10(-36{,}14) = 3{,}363 - 0{,}260 - 3{,}614 = \mathbf{-0{,}511}$

$Z_2 = 0{,}13(-3{,}72) + 0{,}07(36{,}38) + 0{,}10(-21{,}09) = -0{,}484 + 2{,}547 - 2{,}109 = \mathbf{-0{,}046}$

$Z_3 = 0{,}13(-36{,}14) + 0{,}07(-21{,}09) + 0{,}10(114{,}20) = -4{,}698 - 1{,}476 + 11{,}420 = \mathbf{5{,}246}$

$\sum Z = 4{,}689$

$w_X^{PRO} = -0{,}511/4{,}689 = \mathbf{-10{,}91\%}$ (short en X)

$w_Y^{PRO} = -0{,}046/4{,}689 = \mathbf{-0{,}98\%}$ (short en Y)

$w_Z^{PRO} = 5{,}246/4{,}689 = \mathbf{111{,}89\%}$ (largo en Z)

$\bar r_{PRO} = -0{,}1091(18) + (-0{,}0098)(12) + 1{,}1189(15) = \mathbf{14{,}70\%}$, $\sigma_{PRO} = \mathbf{14{,}38\%}$

Cartera óptima A=3: $w_{PRO}^{C^*} = (0{,}1470-0{,}05)/(3 \cdot 0{,}0207) = \mathbf{156{,}27\%}$, $w_F = -56{,}27\%$.

$\bar r_{C^*} = 20{,}16\%$, $\sigma_{C^*} = 22{,}48\%$, $U = \mathbf{0{,}1258}$.

b) Estrategia pasiva con mercado (25%, 25%, 50%)

i) $\bar r_M = 0{,}25(18) + 0{,}25(12) + 0{,}50(15) = \mathbf{15\%}$, $\sigma_M^2 = 0{,}029925$, $\sigma_M = \mathbf{17{,}30\%}$.

Para igualar $\bar r = 20{,}16\%$ del activo a): $w_M = (0{,}2016 - 0{,}05)/(0{,}15 - 0{,}05) = \mathbf{151{,}60\%}$, $w_F = -51{,}60\%$.

Pesos individuales: $w_1 = 1{,}516(0{,}25) = 37{,}90\%$, $w_2 = 37{,}90\%$, $w_3 = 75{,}80\%$.

ii) $\sigma_C = 1{,}516 \cdot 17{,}30 = \mathbf{26{,}23\%}$, $U = 0{,}0984$. Peor que el a) porque la CAL del mercado pasivo es menos empinada que la del PRO.

iii) Si insiste en pasivo, la mejor combinación con A=3 es: $w_M^{C^*} = (0{,}15-0{,}05)/(3 \cdot 0{,}029925) = \mathbf{111{,}39\%}$, $w_F = -11{,}39\%$.

$\bar r = 16{,}14\%$, $\sigma = 19{,}27\%$, $U = 0{,}1057$ (sigue peor que el activo).

📋 Datos

Activo X = libre de riesgo (6%, 0%). Activos 1, 2, 3 con $\rho_{12}=0{,}45, \rho_{13}=0{,}20, \rho_{23}=0{,}65$.

a) ¿Es óptimo 20/30/50 en 1/2/3?

$\bar r = 0{,}2(12)+0{,}3(16)+0{,}5(22) = 2{,}4+4{,}8+11 = \mathbf{18{,}20\%}$

$\sigma_{cons}^2 = 0{,}04(0{,}0225)+0{,}09(0{,}04)+0{,}25(0{,}09)+2(0{,}06)(\mathrm{Cov}_{12})+\ldots$ tras cálculos: $\sigma = \mathbf{20{,}52\%}$

Aplicando $Z = R \cdot V^{-1}$ con la inversa dada:

$w_1^{PRO} = \mathbf{47{,}85\%}$, $w_2^{PRO} = \mathbf{15{,}91\%}$, $w_3^{PRO} = \mathbf{36{,}24\%}$

$\bar r_{PRO} = 16{,}26\%$, $\sigma_{PRO} = 16{,}63\%$

Cartera óptima A=4,5: $w_{PRO}^{C^*} = (0{,}1626-0{,}06)/(4{,}5 \cdot 0{,}02766) = \mathbf{82{,}44\%}$, $w_F = 17{,}56\%$.

$\bar r_{C^*} = 14{,}46\%$, $\sigma_{C^*} = 13{,}71\%$, $U = \mathbf{0{,}1023}$.

Es mejor que la recomendación de la consultora (que tiene mayor riesgo y peor utilidad).

b) Mismo retorno (18,20%) del consultor con menor riesgo

$w_{PRO} = (0{,}182 - 0{,}06)/(0{,}1626 - 0{,}06) = 0{,}122/0{,}1026 = \mathbf{118{,}91\%}$, $w_F = -18{,}91\%$.

$\sigma_C = 1{,}1891 \cdot 16{,}63 = \mathbf{19{,}78\%}$ < 20,52% del asesor consultor. ✓ Mismo retorno, menos riesgo.

📋 Datos

F1 (25%, 30%), F2 (20%, 20%), F3 (10%, 15%), F (3%). $\rho_{12}=0{,}45, \rho_{13}=0{,}25, \rho_{23}=0{,}15$.

a) 50% F1 + 50% F

$\bar r_C = 0{,}5(25) + 0{,}5(3) = \mathbf{14\%}$, $\sigma_C = 0{,}5(30) = \mathbf{15\%}$, $U = 0{,}14 - 0{,}5(1{,}5)(0{,}15)^2 = \mathbf{0{,}1231}$.

b) Cartera óptima con F1 + F (Mundo 1)

$w_1 = (0{,}25-0{,}03)/(1{,}5 \cdot 0{,}09) = 0{,}22/0{,}135 = \mathbf{162{,}96\%}$, $w_F = -62{,}96\%$.

$\bar r = 38{,}85\%$, $\sigma = 48{,}89\%$, $U = \mathbf{0{,}2093}$ (mejor que a).

c) Diversificando: 25% F1 + 25% F2 + 50% F

$\bar r_C = 0{,}25(25) + 0{,}25(20) + 0{,}5(3) = 6{,}25 + 5 + 1{,}5 = \mathbf{12{,}75\%}$

$\mathrm{Cov}_{12} = 0{,}45(0{,}30)(0{,}20) = 0{,}027$

$\sigma_{riesg}^2 = 0{,}25(0{,}09) + 0{,}25(0{,}04) + 2(0{,}25)(0{,}25)(0{,}027) = 0{,}0225 + 0{,}01 + 0{,}003375 = 0{,}035875$, $\sigma_{riesg} = 18{,}94\%$

$\sigma_C = 0{,}5 \cdot 18{,}94 = \mathbf{10{,}72\%}$ (mucho menor que el 15% de a). $U = 0{,}1189$.

d) Matriz V completa

0,090000  0,027000  0,011250
0,027000  0,040000  0,004500
0,011250  0,004500  0,022500

e) PRO

Vector excesos: $[0{,}22; 0{,}17; 0{,}07]$. Aplicando $Z = R \cdot V^{-1}$ con la inversa dada:

$w_1^{PRO} = \mathbf{19{,}94\%}$, $w_2^{PRO} = \mathbf{50{,}76\%}$, $w_3^{PRO} = \mathbf{29{,}30\%}$.

f) Momentos del PRO

$\bar r_{PRO} = 0{,}1994(25) + 0{,}5076(20) + 0{,}293(10) = 4{,}985 + 10{,}152 + 2{,}930 = \mathbf{18{,}07\%}$

$\sigma_{PRO} = \mathbf{15{,}47\%}$. CAL: $\bar r_C = 0{,}03 + 0{,}9741 \sigma_C$.

g) Cartera óptima A=1,5

$w_{PRO}^{C^*} = (0{,}1807-0{,}03)/(1{,}5 \cdot 0{,}02392) = 0{,}1507/0{,}03589 = \mathbf{4{,}1975 = 419{,}75\%}$

$w_F = \mathbf{-319{,}75\%}$ (muy apalancado por la baja aversión).

$\bar r_{C^*} = 66{,}26\%$, $\sigma_{C^*} = 64{,}94\%$, $U = \mathbf{0{,}3463}$ — la mejor de todas las alternativas.

Es el promedio ponderado de los retornos posibles de un activo, con las probabilidades de cada escenario como pesos. Mide cuánto se espera ganar (o perder) en promedio si se invierte en ese activo.

$$E[r] = \sum_{i} p_i \cdot r_i$$

El precio de un activo es el VAN de sus flujos de fondos futuros descontados a la tasa de corte $k$ (que refleja su riesgo):

$$P = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{FCF_n}{(1+k)^n}$$

Donde $FCF_n$ son los flujos de caja libres y $k$ es la rentabilidad exigida (CAPM, APT u otro modelo).

Es la variabilidad de los retornos respecto a su media. Cuantifica la incertidumbre sobre cuánto será el retorno realizado. Se mide con la varianza $\sigma^2$ y el desvío $\sigma$.

No sistemático (diversificable / propio): específico de cada activo (problemas internos de una empresa, sector). Se elimina sumando activos al portafolio.

Sistemático (no diversificable): afecta a todo el mercado (ciclos económicos, inflación, política monetaria). No puede eliminarse diversificando.

Riesgo total: desvío estándar $\sigma$.

Riesgo sistemático: beta $\beta$ (mide sensibilidad al mercado, lo verás en U3).

Riesgo no sistemático: diferencia entre el total y el sistemático.

La covarianza indica la dirección de la relación lineal pero no su intensidad (no tiene unidad de medida estable).

El coeficiente de correlación es la covarianza estandarizada — está acotado entre $-1$ y $+1$ y mide tanto dirección como fuerza de la relación lineal.

$$\rho = \frac{\mathrm{Cov}(x,y)}{\sigma_x \sigma_y}$$

Hay efecto diversificación si $\sigma_P < w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2$ (es decir, si el desvío del portafolio es menor que el promedio ponderado de los desvíos individuales). Eso ocurre siempre que $\rho < 1$.

$\sigma_P^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \cdot 1 \cdot \sigma_1 \sigma_2 = (w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2)^2$. Sacando raíz: $\sigma_P = w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2$.

a) 1 R + F: $\bar r_C = w_1 \bar r_1 + (1-w_1) r_f = r_f + w_1 (\bar r_1 - r_f)$

b) 2 R: $\bar r_p = w_1 \bar r_1 + w_2 \bar r_2$

c) 2 R + F: $\bar r_C = w_1 \bar r_1 + w_2 \bar r_2 + w_f r_f$ (con $w_1 + w_2 + w_f = 1$)

a) 1 R + F: $\sigma_C = w_1 \sigma_1$

b) 2 R: $\sigma_p = \sqrt{w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \mathrm{Cov}_{1,2}}$

c) 2 R + F: $\sigma_C = \sqrt{w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \mathrm{Cov}_{1,2}}$ (porque $\sigma_f = 0$ y $\mathrm{Cov}$ con F son 0).